41

Otra fórmula realmente curiosa que casi podría ser la esquiva fórmula generadora de números primos la descubrió Euler en 1751:

x²+x+41

Si se prueban los valores enteros para x empezando por 0, 1, 2… todos los números generados resultan ser primos:

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601…

Pero cuando se prueba para x igual a 40, el resultado es 1681, que no es primo (41×41). Construir esta fórmula gráficamente con cuadraditos permite entender por qué de una forma muy visual.

El matemático obviamente sabía que en el siguiente paso, x = 41, la fórmula fallaría, pero la profusión de primos no dejó de asombrarle. También indicó que en general se podría usar un número q con los valores primos 2, 3, 5, 11 ó 17 y la fórmula

x²+x+q

daría como resultado sólo números primos al hacer variar x entre 0 y q-2. Más curiosamente todavía, esa fórmula no funciona con el número 7 ni con el número 13.

Euler llegó a decir, en referencia a los números primos:

Hay algunos misterios en los que la mente humana nunca llegará a penetrar.

(Visto en el libro The Music of the Primes.)

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